단순 확률계수 열화모형하에서 수명시험과

열화시험의 비교연구

Comparison of Life Tests and Degradation Tests under Simple Random Coefficient Degradation Model

서순근*·하천수**

Sun-Keun Seo*·Chen-Soo Ha**

Abstract

Degradation tests can be a useful tool for assessing the reliability when few or even no failures are expected in a life tests. In this paper, we use a simple random coefficient degradation model to compare statistical efficiency of degradation tests and traditional life tests.

If failure is defined in terms of a critical level of degradation, a degradation model defines a time-to-failure distribution, i. e., when a distribution of degradation rate follows a Reciprocal-Weibull(or Lognormal) distribution, a time-to-failure distribution follows an Weibull(or Lognormal) distribution under a simple random coefficient degradation model.

Compared with maximum likelihoods estimates of parameters of two tests in terms of the bias and mean squared error for a range of practical testing situations, degradation tests are in general more precision than life tests.

* 동아대학교 기계·산업시스템공학부 교수

** 동아대학교 산업시스템공학과 박사과정

2002년 3월 접수, 2002년 5월 게재 확정

Journal of the Korean Institute

of Plant Engineering

Vol.7,No.2, JUN 2002

key words＞단순 확률계수 열화모형, 수명시험, 열화시험, Reciprocal-Weibull 분포, 대수정규분포

1. 서  론

단순 확률계수 열화모형하에서 수명시험과 열화시험의 비교연구

서순근·하천수

제품의 신뢰성 평가를 위한 품질특성치인 수명에 관한 정보는 수명시험을 통해서 획득할 수 있다. 고 신뢰성 제품일 경우에 수명시험을 실시하면, 과다한 시험시간이 소요되므로 일반적으로 사용 조건보다 가혹한 스트레스를 가하거나 사용빈도를 증가시키는 가속 시험 등이 널리 적용된다. 또한 (가속)수명시험으로는 시험종료시간까지 고장날 가능성이 아주 적거나 혹은 전혀 고장이 발생하지 않는 제품의 경우에 시험제품의 열화량을 측정할 수 있다면 측정된 열화량을 이용하여 수명을 추정하는 (가속)열화시험 등이 활용되고 있다[5,7,8].

열화현상이 단순 확률계수 모형일 경우에 제품의 열화율이 Reciprocal-Weibull(이하 R-Weibull) 분포를 따를 때, 제품의 수명분포는 Weibull 분포를 따른다는 현상과 열화율의 분포가 대수정규분포를 따를 경우 수명분포가 대수정규분포를 따르는 점을 활용하여 수명시험과 열화시험을 비교분석하고자 한다.

열화시험과 수명시험의 비교에 관한 연구로서 Suzuki, Maki, and Yokogawa(1993)는 가속시험인 경우 대수정규분포를 따르는 비선형 확률계수 열화모형을 가정하여 관측중단시간, 측정간격과 시험표본 간의 변동 등에 따라 평균고장시간(MTTF, mean time to failure) 추정량의 정도를 비교하였다[10]. Lu, Meeker and Escobar(1996)는 수명에 비례하는 대수정규 열화율 열화모형을 따를 경우 먼저 각 시험표본에 대하여 최소제곱법에 의해서 열화 모수를 추정한 후에 각 시험표본의 모수를 결합하는 두 단계 추정방법을 사용하여 측정횟수, 측정오차의 크기, 그리고 관심있는 분위수 값 등에 대해 점근적 효율의 관점에서 열화시험과 전통적인 수명시험에 의한 분석방법을 비교하였다[4].

본 연구는 상기의 두 연구와는 달리 먼저 단순 확률계수 열화모형을 이용한 열화율과 수명분포와의 관계를 파악하여, 수명이 각각 Weibull 분포와 대수정규분포를 따를 경우 R-Weibull과 대수정규 열화율 분포를 이용한 수명추정이 가능함을 기술하고, 실제 자료를 이용한 예제를 통하여 그 유용성을 살펴본다. 또한 Weibull 수명분포와 R-Weibull 열화율 분포일 경우 모수 추정에 관한 수치실험을 통하여 시험제품의 관측중단비율에 따라 수명시험과 열화시험을 통한 모수의 최우추정량(MLE : Maximum Likelihood Estimator)에 대한 편기(bias)와 평균제곱오차(MSE : mean squared error)를 구하여 두 시험법의 유용성을 비교하고자 하며, 수명분포와 열화율의 분포가 각각 대수정규분포를 따를 경우에도 동일한 상황에서 비교하고자 한다.

2. 단순 확률계수 열화모형

2.1 열화모형

시각 [eqn: t ``]에서 측정된 제품의 열화량이 열화율 [eqn: Theta ``]로 표현되는 단순 확률계수 모형을 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다[3].

[eqn: eta(t) ~=~phi ``+`` Theta cdot t ``]	(1)

단, [eqn: eta(t)`] : 시각 [eqn: t ``]에서 측정된 열화량.

[eqn: phi ``] : 시각 0에서 열화량, [eqn: eta(0) ``].

[eqn: Theta ``] : 열화율(확률계수).

2.2 R-Weibull 분포

확률변수 [eqn: X ``]가 Reciprocal Weibull[eqn: (alpha, beta)]분포를 따를 경우 누적분포함수와 확률밀도함수는 식 (2)와 (3)으로 나타낼 수 있으며 R-Weibull 분포의 확률밀도함수를 도시하면 <그림 1>과 같다[1,2].

[eqn: G(x) ~=~ exp left[- left( 1 over {alpha `x} right)^beta right]]	(2)

[eqn: g(x) `=` beta over x left( 1 over {alpha` x} right)^beta exp left[-left( 1 over {alpha `x } right)^beta right]] (3)

<그림 1> R-Weibull 분포의 확률밀도함수

2.3 열화율이 R-Weibull 분포를 따를 경우

식 (1)의 열화율 [eqn: Theta ``]가 척도모수 [eqn: alpha_D ``]와 형상모수 [eqn: beta_D ``]를 가지는 R-Weibull 분포를 따를 때 확률밀도함수는 식 (4)로 표현할 수 있다.

[eqn: g_Theta (theta) `=` beta_D over theta left( 1 over {alpha_D theta} right)^beta_D exp left[-left( 1 over {alpha_D theta } right)^beta_D right]](4)

즉, 본 연구에서 시험제품의 측정된 열화량이 고장으로 판정할 수 있는 기준 열화량(critical degradation) [eqn: D ``]를 초과하면 고장이라고 판정되며(즉, [eqn: eta(t)`>=`D ``]) 시험제품은 시간에 대해 단조감소형태로 성능이 저하되므로 [eqn: eta(t) ``]는 [eqn: t``]의 증가함수이다(단, [eqn: Pr(Theta ``>``0)=1 `]).

시험제품의 시험시작 전의 열화량은 무시할 수 있다고 가정한다면, [eqn: phi =0 ``]가 되어 식 (1)에 대입하면 고장시간은 [eqn: T `=` D/Theta ``]로 나타낼 수 있다.

수명 [eqn: T ``]의 분포함수를 구하면 식 (5)와 같이 나타낼 수 있으므로 열화율이 R- Weibull 분포를 따를 경우에 식 (6)과 (7)의 관계를 이용하여 수명분포의 모수를 추정할 수 있다.

[eqn: F_T (t) &=Pr left(T= D over Theta <= t right)## &= Pr left(Theta >= D over t right) = 1- G_Theta left( D over t right)## &= 1-exp left[- left( t over {alpha_D D } right)^beta_D right]]  (5)

식 (5)로 부터 수명 [eqn: T ``]가 가장 널리 쓰이는 [eqn: rm Weibull it (alpha_D D, beta_D )]를 따름을 알 수 있으며, 여기서 수명 [eqn: T ``]가 [eqn: rm Weibull it (alpha, beta)]를 따른다고 한다면 수명과 열화률의 관계를 다음 식으로 정리할 수 있다.

[eqn: alpha_D `=` alpha over D `], [eqn: beta_D `=` beta `]	(6)

[eqn: Theta `=` { eta(t )} over t ~∼~rm R-Weibull it left( alpha over D , beta right)] (7)

2.4 열화율이 대수정규분포를 따를 경우

열화율 [eqn: Theta `]가 대수정규분포([eqn: LN( mu_D , sigma_D^2 )])를 따르는 누적분포함수와 확률밀도함수는 식 (8)과 (9)와 같다.

[eqn: G_Theta (theta) ~=~ Phi left( {log theta - mu_D } over sigma_D right) `]	(8)

[eqn: g_Theta (theta) ``=`` 1 over {sigma_D theta} phi left( {log theta - mu_D } over sigma_D right)]	(9)

단, [eqn: Phi( cdot) `]: 표준정규분포의 누적분포함수.

[eqn: phi(cdot ) `]: 표준정규분포의 확률밀도함수.

식 (5)와 같이 열화율이 대수정규분포를 따를 때 수명 [eqn: T ``]의 분포함수를 구하면  식 (10)과 같이 된다.

[eqn: F_T (t) `=` Phi left( {ln t - [ ln(D-phi) -mu_D ]} over {sigma_D} right)](10)

[eqn: phi =0 ``]이면, 식 (10)의 누적분포함수로부터 수명 [eqn: T ``]도 [eqn: LN(ln D - mu_D , sigma_D^2 )]을 따르고 있으므로 수명분포가  [eqn: LN( mu, sigma^2 `)]라고 할 때 식 (11)과 (12)와 같이 열화율과 수명분포의 모수 관계를 이용하여 대응되는 모수를 추정할 수 있다.

[eqn: mu_D`=` ln D`-` mu `], [eqn: sigma_D^2 ~=~ sigma^2 ``]	(11)

[eqn: Theta `=` eta(t) over t ~∼~ LN(ln D - mu , sigma^2 `)]	(12)

2.5 실제 자료를 이용한 예제

2.5.1 열화율이 R-Weibull 분포를 따를 경우

다음 <표 1>의 자료는 시험표본 #21∼#29의 총 9개 저항기를 173℃의 스트레스 하에서 시험한 열화자료이다[7]. 시험기간 중에 열화량의 측정을 위한 검사를 4회 실시하였으며, 이 중에서 <그림 2>와 같이 하나의 시험표본(#22)이 고장판정 기준열화량([eqn: D `=`10% `])을 초과하였다. 적용예제에서의 모수 추정은 동일표본의 다수 관측자료를 독립으로 간주하여 4회의 모든 자료를 이용하며 관측중단시간은 8,084(hours)이다. 분포 모수의 최우추정량을 구하기 위해서(3절참조) Fortran 언어로 작성하였으며 IMSL 서브루틴 DNEQNF를 이용하였다.

<표 1> 저항기 열화시험 자료

시험 표본 번호	관측시간 (kHours)	열화량	시험 표본 번호	관측시간 (kHours)	열화량
21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 24 25 25	0.452 1.030 4.341 8.084 0.452 1.030 4.341 8.084 0.452 1.030 4.341 8.084 0.452 1.030 4.341 8.084 0.452 1.030	1.25 1.88 3.54 5.23 2.64 3.78 7.01 11.12 0.98 1.36 2.66 4.42 1.62 2.34 3.82 6.14 1.59 2.41	25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 29	4.341 8.084 0.452 1.030 4.341 8.084 0.452 1.030 4.341 8.084 0.452 1.030 4.341 8.084 0.452 1.030 4.341 8.084	3.46 6.75 2.29 2.24 6.30 8.34 0.98 1.37 2.47 3.74 1.04 1.54 2.77 4.16 1.19 1.59 3.03 4.52

<그림 2> 저항기 열화량의 도시

열화율이 R-Weibull 분포를 따를 때 확률지 도시 용지의 [eqn: x , ``y `]축은 다음과 같이 설정할 수 있다.

[eqn: G(theta )~=~ exp left[ - left( 1 over {alpha_D theta} right)^beta_D right]]

[eqn: -ln left[ -ln G(theta) right] = beta_D ln alpha_D `+` beta_D ln theta `]

[eqn: x 축 ~:~ ln theta ``], [eqn: y 축 ~:~ -ln(-ln G(theta)) ``]

<그림 3>은 Minitab을 이용하여 <표 1>의 자료를 대상으로 R-Weibull 분포의 확률지에 도시한 그림이며 도시된 결과를 보면 모든 점들이 적합된 직선 근처에 존재하므로 열화율이 R-Weibull 분포를 따른다고 볼 수 있다.

<그림 3> 저항기 자료의 R-Weibull 분포

확률지 도시

<표 1>의 열화량을 이용하여 열화율에 관한 R-Weibull 분포 모수의 최우추정량은 다음과 같이 구할 수 있다(괄호안은 표준오차임).

[eqn: hat alpha ``=`` hat alpha `_D D ~=~ 1.014739 ``](0.109399)

[eqn: hat beta ``=``hat beta`_D ~=~1.639610 ``](0.219019)

열화율 분포의 모수 추정값과 식 (5) 및 (6)을 이용하여 관심있는 분위수([eqn: hat t` _0.01 , ``hat t`_0.05 ,`` hat t`_0.1 `]) 등의 수명을 다음과 같이 추정할 수 있다.

[eqn: hat t` _0.01 &=````6,136 rm hours(2,322)## it hat t`_0.05 &=``16,581 rm hours(4,075)## it hat t`_0.1 &=``25,721 rm hours(4,814)``]

2.5.2 열화율이 대수정규분포를 따를 경우

본 예는 총 21개의 Alloy A 장치에 관한 시험자료로서 <그림 4>와 같이 90,000Cycle에서 하나의 시험표본이 고장판정 기준열화량([eqn: D `=`1.6 `]inch)을 초과하여 더 이상 열화량을 측정하지 않았으며, 나머지 20개의 시험자료에 대한 관측중단 시간에서 측정된 열화량이 <표 2>에 정리되어 있다[7]. 본 예에서는 3절의 자료 관측중단시점  [eqn: T_c `=`100,000](Cycle)에서 관측된 열화량만을 이용하여 대수정규분포에 적합시켜 모수를 추정하고자 한다.

<표 2> Alloy-A 장치 관측중단시점의 열화량

1.60    1.58    1.55    1.55

1.51    1.52    1.49    1.44

1.42    1.39    1.37    1.31

1.30    1.33    1.26    1.24

1.23    1.20    1.19    1.18

<그림 4> Alloy-A의 열화량 도시

<그림 5>는 Minitab을 이용하여 <표 2>의 자료를 대상으로 대수정규분포의 확률지에 도시한 결과이며 도시된 그림을 보면 모든 점들이 적합된 직선 근처에 존재하므로 열화율은 대수정규분포를 따른다고 볼 수 있다.

<그림 5> Alloy-A 장치의 대수정규분포

확률지 도시

<표 2>의 열화량을 이용하여 열화율에 관한 대수정규분포의 모수를 최우추정법으로 구한 추정량은 다음과 같다(괄호안은 표준오차임).

[eqn: hat mu ``=``lnD-hat mu `_D ``=`` 0.321627 ``](0.0375531)

[eqn: hat sigma ``=``hat sigma`_D ~=~0.104317 ``](0.0168308)

수명시간 [eqn: T ``]는 상기 값과 식 (10) 및 (11)을 이용하여 관심있는 분위수([eqn: hat t` _0.01 , ``hat t`_0.05 ,`` hat t`_0.1 ``])등을 추정할 수 있다.

[eqn: hat t` _0.01 &=```91,001 rm Cycle(6,575)## it hat t`_0.05 &=```97,706 rm Cycle(6,012)## it~ hat t`_0.1 &=`101,480rm Cycle(5,677)``]

2.5.3 의사(pseudo) 고장시간을 이용한 방법

시험표본의 열화경로(degradation path)를 식 (1)과 같은 단순 확률계수 열화모형으로 표현할 수 있다. 이러한 경우에 [eqn: phi=0]이므로 식 (13)과 같이 근사적인 열화분석 방법을 이용하여 고장나지 않은 시험단위에 대해 의사 고장시간을 구할 수 있다[6].

[eqn: hat t`_i ~=~ {D} over {hat theta`_i}]	(13)

전절의 두 가지 적용 예제에서 저항기의 경우는 시험표본의 수가 9개로 비교적 적으므로 관측중단시점에서 20개의 시험표본에 대한 열화량이 측정된 Alloy-A 장치의 열화량을 이용한 의사 고장시간을 구하여 모수와 관심있는 분위수의 수명을 추정한 후 열화율의 분포를 이용한 수명추정의 결과와 의사 고장시간을 이용한 결과를 비교하고자 한다.

<표 3>에는 100,000Cycles에서 관측중단된 Alloy-A의 의사 고장시간을 구한 결과가 정리되어 있다.

<표 3> Alloy-A 장치의 의사 고장시간

(단위 : Millions of Cycles)

0.10000   0.10127   0.10323   0.10323

0.10596   0.10526   0.10738   0.11111

0.11268   0.11511   0.11679   0.12214

0.12308   0.12030   0.12698   0.12903

0.13008   0.13333   0.13445   0.13559

<표 3>의 의사 고장시간을 이용하여 Minitab 통계 패키지를 이용한 대수정규분포의 모수와 관심있는 저 분위수의 수명을 추정하였다. 또한 <그림 6>의 대수정규분포의 확률지 도시 결과를 살펴보면 모든 의사 고장시간이 적합된 직선 근처에 도시되어 있으므로 대수정규분포를 따른다고 판단할 수 있다.

<그림 > 의사 고장시간의 대수정규분포

적합과 확률지 도시

[eqn: hat mu ~=~ 0.1168 ``](0.002617)

[eqn: hat sigma ~=~0.0117 ``](0.001897)

[eqn: hat t` _0.01 &=```92,153 rm Cycle(3,964)## it hat t`_0.05 &=```98,647 rm Cycle(3,381)## it~ hat t`_0.1 &=`102,293rm Cycle(3,084)``]

추정된 분포 모수값과 관심있는 저 분위수의 수명을 열화율의 분포를 이용하여 수명을 추정한 결과와의 차이가 크지 않음을 알 수 있으며, 이 경우는 열화율 또는 의사 고장시간을 이용하여 수명에 관한 정보를 활용할 수 있음을 알 수 있다. 그러나 근사적인 열화분석방법인 의사 고장시간을 이용하여 수명분포를 추정할 때에는 다음 몇 가지 사항을 충분히 고려해야 한다[7].

1) 열화 경로가 비교적 단순한 경우.

2) 적합된 경로 모형이 근사적으로 정확.

3) 열화율을 정확하게 추정할 수 있는 충분한 자료가 있어야 됨.

4) 측정오차가 적은 경우.

5) 수명을 예측할 때 너무 큰 외삽

(extrapolation)을 해서는 안됨.

3. 수명시험과 열화시험하의 모수 추정

본 연구에서 관측중단시점은 모든 시험단위에 대해 동일하며, 고장이 발생하지 않은 제품에 대한 열화량의 측정이 가능하다고 가정한다.

수명시험과 열화시험의 비교분석을 위해서 먼저 각 시험방법의 모수 추정 절차를 살펴보고  4절의 수치실험을 통하여 동일한 시험조건 상황하에서 두 시험방법에 따라 발생된 자료에 대해 모수를 추정하여 비교 분석하고자 한다.

3.1 수명시험하의 모수 추정

수명 [eqn: T ``]는 Weibull([eqn: alpha , beta ``])를 따를 경우와  수명이 대수정규분포를 따를 때 모수를 추정하는 방법은 다음과 같다.

모수의 최우추정량을 구하기 위해서 관측중단시각 [eqn: t_c ``] 전에 고장난 시험제품과 관측중단제품의 우도함수는 다음 식 (14)와 같으며 이 때 두 수명분포의 대수우도함수를 구하면 식 (15)와 (16)과 같다.

[eqn: L_(1)~=~PROD from {i in F} f(t_i ) PROD from {i in C} S(t_c )]	(14)

단, [eqn: F= left{고장난~ 단위의~ 집합 right}]

[eqn: C=left{관측중단된~단위의~집합 right}].

Weibull 수명분포 :

[eqn: ln L_(1) &= sum from {i in F} left[ ln left(beta over t_i right)+beta ln left( t_i over alpha right) - left( t_i over alpha right)^beta right]## & ~+sum from {i in C} left[ - left( t_c over alpha right)^beta right]~~~~~~~~~~~``(15)]

대수정규 수명분포 :

[eqn: ln L_(1) &= sum from {i in F} left[ -ln(sigma) - 1 over 2 ln(2 pi) - z_i^2 over 2right] ##&~+ sum from {i in C} ln left[1-Phi(z_c )right] ~~~~~~~~~~(16)]

단, [eqn: z_i = {ln t_i - mu } over sigma], [eqn: z_c = {ln t_c -mu} over sigma]

[eqn: Phi( cdot), ``phi(cdot)`] : 표준정규분포의 누적

분포 및 확률밀도함수.

식 (15)와 (16)의 대수우도함수를 이용하여 모수에 대해서 1차 편미분한 식 (17)∼ (20)이 0이 되도록 하는 값을 구하면 최우추정량이 된다.

Weibull 수명분포 :

[eqn: {partial ln L_(1) } over {partial alpha } &= sum from {i in F} left[ - beta over alpha + beta over alpha left( t_i over alpha right)^beta right]## &~ + sum from {i in C} beta over alpha left( t_c over alpha right)^beta ``]    (17)

[eqn: `][eqn: {partial ln L_(1)} over {partial beta} &= sum from {i in F} left[ 1 over beta +ln left( t_i over alpha right) - left( t_i over alpha right)^beta ln left( t_i over alpha right) right]## & ~- sum from {i in C} left[ left( t_c over alpha right)^beta ln left( t_c over alpha right) right]]

대수정규 수명분포 :

[eqn: {partial ln L_(1) } over {partial mu} =sum from {i in F} left( {z_i } over sigma right)+ sum from {i in C} {phi(z_c )} over {(1-Phi(z_c ))sigma}](19)

[eqn: {partial ln L_(1)} over {partial sigma} &=~ sum from {i in F} 1 over sigma left(z_i^2 -1 right) ##&~+ sum from {i in C} {z_c ``phi(z_c )} over {(1- Phi(z_c ))sigma}]        (20)

Weibull 분포는 최우추정량 [eqn: hat alpha ,~ hat beta ``]를 이용하여 식 (21)과 같이 관심있는 [eqn: 100 times q%]분위수에서의 수명을 추정할 수 있으며 대수정규분포일 경우도 식 (22)와 같이 최우추정량 [eqn: hat mu ,``hat sigma ``]를 이용하여 수명을 추정할 수 있다.

Weibull 수명분포 :

[eqn: hat t`_q ~=~ hat alpha left[- ln(1-q) right]^{1/hat beta }`]	(21)

대수정규 수명분포 :

[eqn: hat t`_q ``=`` exp left[ hat mu + Phi^-1 (q) hat sigma right]]	(22)

3.2 열화시험하에서 모수 추정

먼저, 열화량에 관한 정보는 다음과 같이 획득된다고 가정한다. <그림 7>과 같이 시험중단(관측중단)시점에서 모든 시험표본의 열화량이 측정가능하며 관측중단 시점에 [eqn: D``]를 초과한 시험제품도 관측중단 시점에서 정확한 열화량의 측정이 가능하며[3,10], 모든 시험표본에 대하여 단 1회만 열화량을 측정한다고 가정한다.

<그림 7> 열화시험에서 열화율의 정보

<그림 7>과 같은 열화시험하에서 관측중단 시점에서 측정된 열화량을 이용하여 제품의 열화률 [eqn: theta_i ``]가 구해질 경우, 열화율 분포의 모수를 추정하는 과정은 다음과 같다.

각 단위의 열화율에 대한 우도함수에 대한 기여는 식 (23)과 같이 나타낼 수 있으며 두 가지 열화율 분포에 대한 대수우도함수는 식 (24)와 (25)와 같다.

[eqn: L_(2) ``=``PROD from {i } g(theta_i )]	(23)

R-Weibull 열화율 분포 :

[eqn: ln L_(2) &= sum from i left[ ln left( beta_D over theta_i right) +beta_D ln left(1 over{alpha_D theta_i} right) ##&~- left(1 over{alpha_D theta_i} right)^beta_D right]]    (24)

대수정규 열화율 분포 :

[eqn: ln L_(2) &= sum from i left[ -ln(sigma_D ) - 1 over 2 ln(2 pi) - z_{D`i}^2 over 2right]]

(25)

단, [eqn: z_{D `i}= {ln theta_i - mu_D } over sigma_D].

식 (24)와 (25)의 대수우도함수를 이용하여 모수에 대해서 1차 편미분한 식 (26)∼ (29)가 0이 되는 값을 구하면 최우추정량이 된다.

R-Weibull 열화율 분포 :

[eqn: {partial ln L_(2) } over {partial alpha_D } &=sum from i left[ - beta_D over alpha_D + beta_D over {alpha_D (alpha_D theta_i )^beta_D} right]] (26)

[eqn: {partial ln L_(2) } over {partial beta_D } &= sum from i left[ 1 over beta_D +ln left( 1 over {alpha_D theta_i} right) ##&~- {ln left( 1 over {alpha_D theta_i} right)} {left( 1 over {alpha_D theta_i } right)^beta_D} right]]   (27)

대수정규 열화율 분포 :

[eqn: {partial ln L_(2) } over {partial mu_D } =sum from i left( {z_{D `i}} over sigma_D right)]	(28)

[eqn: {partial ln L_(2) } over {partial sigma_D } &= sum from i 1 over sigma_D left(z_{D`i}^2 -1 right)]	(29)

R-Weibull 분포일 경우는 최우추정량 [eqn: hat alpha`_D ,`` hat beta`_D `]를 이용하여 식 (30)과 같이 수명분포의 모수와 [eqn: 100 times q%] 분위수에서의 수명을 추정할 수 있으며 대수정규분포일 경우도 식 (31)과 같이 최우추정량 [eqn: hat mu`_D ,``hat sigma`_D ``]를 이용하여 수명분포의 모수와 분위수를 추정할 수 있다.

R-Weibull 열화율 분포 :

[eqn: hat alpha ``=`` hat alpha `_D `D , ~~hat beta ``=`` hat beta `_D]

[eqn: hat t`_q `=` hat alpha`_D cdot D cdot left{-ln(1-q) right}^{1/hat beta`_D} ``]  (30)

대수정규 열화율 분포 :

[eqn: hat mu ``=`` ln D `-`hat mu`_D ,~~hat sigma ``=`` hat sigma`_D `]

[eqn: hat t`_q `=` exp left[ln D -hat mu`_D + hat sigma`_D `Phi^-1 (q) right]]   (31)

또한 <그림 8>과 같이 관측중단시점까지는 고장난 제품에 대해서 정확한 고장시간의 정보를 얻을 수 있고, 관측중단시점에서는 고장이 발생하지 않은 제품에 대하여 열화량을 용이하게 구할 수 있다면, 이를 이용하여 근사적인 열화분석 방법인 의사 고장시간 정보를 이용하여 2.5.3절의 적용 예에서와 같이 수명분포를 추정할 수 있다.

<그림 8> 수명시간과 의사 고장시간 정보

4. 수명시험과 열화시험에 관한

수치실험

시험제품의 수명 또는 열화율 정보가 관측중단비율에 따라서 주어질 때 2절의 두 가지 Case에 대해 수치실험을 실시하여 수명시험과 열화시험의 편기와 평균제곱오차(MSE)를 구하여 비교하고자 한다.

4.1 수명분포가 Weibull 분포일 경우

총 시험제품의 수를 25, 50, 100개의 세 가지 경우로 구분하고 척도모수[eqn: alpha=1.0], 형상모수는 [eqn: beta``=``0.8, ``1.,``2.,``3.5`], 기준 열화량은 [eqn: D =10``]일 경우로 가정하고 시험제품의 관측중단비율은 완전자료일 경우, 25%, 50%, 75%, 90%로 설정하였다. 설정된 각 시험 조건에서 5,000회의 시뮬레이션을 수행하여 수명시험과 열화시험의 자료를 이용하여 모수를 추정하여 각 모수에 대한 편기와 MSE의 관점에서 비교하였다.

4.2 수명분포가 대수정규분포일 경우

위치모수 [eqn: mu=1.0], 척도모수는 [eqn: sigma`=`1/3, `1/2,`1.0`]일 경우로 기준 열화량 등을 포함한 이 외의 실험상황은 Weibull 분포와 동일하게 수행하였다.

본 연구에서 열화율의 분포를 이용하여 수명시험 결과와 비교하기 위해서는 동일한 시험상황이 되어야 하는데, 관측중단 시점에서 단지 1회만 측정하는 열화시험의 경우에는 측정된 열화량을 이용한 열화율이 관측중단비율에 따른 관측중단시간에 의존하지 않기 때문에 각 열화율 분포의 모수를 관측중단비율이 클수록 측정되는 열화량의 변동이 증가되는 식 (32)와 (33)의 관계가 있다고 설정하였으며 R-Weibull 분포일 경우에 [eqn: gamma ``]값은 음의 값을 가지며, 대수정규분포일 경우에는 열화율 분포와 수명분포의 모수 관계([eqn: mu=lnD-mu_D `])에 의해 양의 값을 가지도록 하였으며, 이 때 열화율분포와 수명분포의 척도모수가 동일하게 되는 관측중단비율의 기준을 50%로 설정하여 비교하였다.

R-Weibull 분포 :

[eqn: alpha_D^' ~= ~alpha_D ``exp left[gamma `(tau -t_c^' `) right]]        (32)

대수정규분포 :

[eqn: mu_D^' ~ = ~mu_D ``exp left[gamma ``(tau -t_c^' `) right]]         (33)

단, 관측중단비율에 따른 검사시각 :[eqn: tau ``]

관측중단비율이 50%가 되는 시점 :[eqn: t_c^' ``]

수치실험을 위한 프로그램은 Fortran 언어로 작성하였으며 최우추정량을 구하는 알고리즘은 Powell's Conjugate Direction 방법을 이용한 서브루틴 POWELM을 사용하였다[9].

<표 4>에는 수명이 Weibull 분포를 따르고, 열화율이 R-Weibull 분포를 따를 경우의 모수의 추정에 대한 모수의 최우추정량에 대한 편기(bias(□)와 bias(□) 등으로 표기)와 MSE(MSE(□), MSE(□) 등)를 정리하였으며, <표 5>에는 수명과 열화율의 분포가 대수정규분포일 경우의 수치실험 결과를 정리하였다.

<표 4>의 결과를 살펴보면, 관측중단비율이 크고 [eqn: beta ``]가 적을수록, 수명시험의 [eqn: hat alpha ``]의 편기가 크게 증가함을 알 수 있고, [eqn: hat beta ``]의 편기는 느리게 감소하다가 관측중단비율이 90%가 될 때는 [eqn: alpha ``], [eqn: beta ``]를 오추정 하므로서 편기가 크게 증가함을 파악할 수 있다. 열화시험에 의한 [eqn: hat alpha``]의 편기는 관측중단비율이 클수록 증가하지만 수명시험보다 적으며, [eqn: hat beta `]의 편기와 MSE는 관측중단비율에 따라 거의 변화가 없음을 알 수 있다.

관측중단비율이 증가하면 고장정보가 적어지므로 수명시험의 경우가 열화율로부터 수명을 간접추정하는 열화시험보다 모수의 MSE가 크게 증가함을 알 수 있다. 그리고 특히 수명시험의 경우도 모수의 편기 값을 살펴보면 거의 모든 경우에 음수이므로 두 시험 모두 [eqn: hat alpha ``]를 과소추정하고 있음을 파악할 수 있다.

또한 시험표본이 50개, 100개의 경우도 수치실험을 실시하였으나 시험표본이 25개의 결과와 유형이 거의 동일하며, 각 시험조건에서 두 모수의 편기와 MSE 값이 25개의 경우보다 시험표본이 클수록 적게 도출되었음을 확인하였으며 그 결과 값을 표로 작성하여 제시하지는 않았다.

따라서 열화량의 측정이 가능하고 본 논

<표 4>  Weibull 수명분포일 경우([eqn: n=25],[eqn: alpha `=`1.0 ``],[eqn: D=10],[eqn: gamma=-0.01])

[eqn: beta ``]	관측 중단 비율	수명시험				열화시험
		bias([eqn: alpha ``])	bias([eqn: beta ``])	MSE([eqn: alpha ``])	MSE([eqn: beta ``])	bias([eqn: alpha ``])	bias([eqn: beta ``])	MSE([eqn: alpha ``])	MSE([eqn: beta ``])
0.8	0% 25% 50% 75% 90%	-.06633 -.00934 .15990 1.29843 3.45914	-.01555 -.04103 -.05399 -.05571 .06263	.06405 .11141 .90322 32.09689 223.83910	.01357 .02022 .03076 .05211 .13453	-.07956 .12089 .13070 .13548 .13719	.01248 .01248 .01248 .01248 .01248	.05714 .08997 .09376 .09568 .09638	.01404 .01404 .01404 .01404 .01404
1.0	0% 25% 50% 75% 90%	-.05854 -.01554 .09803 .82509 2.09679	-.01943 -.05128 -.06749 -.07006 .07704	.04219 .06730 .35222 19.45968 88.29561	.02120 .03159 .04806 .08182 .21148	-.01454 .09048 .09806 .10253 .10454	.01560 .01560 .01560 .01560 .01560	.03733 .05364 .05571 .05698 .05757	.02193 .02193 .02193 .02193 .02193
2.0	0% 25% 50% 75% 90%	-.03501 -.01571 .02552 .19376 .33090	-.03886 -.10257 -.13498 -.14042 .15268	.01148 .01588 .04700 1.46117 3.38986	.08480 .12636 .19224 .32799 .84930	.01656 .03933 .04292 .04602 .04823	.03120 .03120 .03120 .03120 .03120	.01014 .01186 .01223 .01257 .01282	.08772 .08772 .08772 .08772 .08772
3.5	0% 25% 50% 75% 90%	-.02149 -.01092 .00978 .07338 .08222	-.06801 -.17950 -.23622 -.24573 .26718	.00393 .00517 .01300 .11147 .32048	.25971 .38698 .58873 1.00446 2.60099	.01182 .02109 .02311 .02516 .02695	.05460 .05460 .05460 .05460 .05460	.00334 .00371 .00381 .00392 .00402	.26865 .26865 .26865 .26865 .26865

문에서 제시한 열화율 모형을 따르면 시험제품의 관측중단비율이 클 경우(즉, 25% 이상) 수명시험보다 열화시험이 더 우수함을 파악할 수 있다.

시험표본이 25개인 <표 5>의 대수정규분포일 경우의 결과를 살펴보면, 관측중단비율이 클수록 수명시험의 [eqn: hat mu ``]에 대한 편기가 증가함을 알 수 있고, [eqn: hat sigma ``]의 편기는 느리게 감소하다가 관측중단비율이 90%가 될 때 Weibull 분포와 유사하게 모수 [eqn: mu ``]와 [eqn: sigma ``]의 오추정에 의해서 편기가 크게 증가함을 파악할 수 있다.

<표 5> 대수정규 수명분포일 경우([eqn: n=25],[eqn: mu=1.0],[eqn: D=10],[eqn: gamma=0.001])

[eqn: sigma`]	관측 중단 비율	수 명 시 험				열 화 시 험
		bias([eqn: mu `])	bias([eqn: sigma `])	MSE([eqn: mu `])	MSE([eqn: sigma `])	bias([eqn: mu `])	bias([eqn: sigma `])	MSE([eqn: mu `])	MSE([eqn: sigma `])
1/3	0% 25% 50% 75% 90%	-.02496 -.01939 -.01079 .00430 -.04084	.00822 .01629 .02328 .02999 -.00395	.00478 .00539 .00813 .02319 .04955	.00189 .00314 .00532 .01115 .01659	.01378 .02407 .02496 .02567 .02619	.00822 .00822 .00822 .00822 .00822	.00434 .00473 .00478 .00481 .00484	.00189 .00189 .00189 .00189 .00189
1/2	0% 25% 50% 75% 90%	-.03744 -.02908 -.01618 .00645 -.06126	.01233 .02444 .03492 .04499 -.00592	.01075 .01213 .01829 .05219 .11148	.00425 .00706 .01197 .02510 .03733	.01084 .03602 .03744 .03845 .03911	.01232 .01232 .01232 .01232 .01232	.00946 .01064 .01075 .01082 .01087	.00425 .00425 .00425 .00425 .00425
1.0	0% 25% 50% 75% 90%	-.07488 -.05815 -.03236 .01289 -.12335	.02466 .04888 .06983 .08998 -.01175	.04298 .04852 .07317 .20875 .44773	.01701 .02825 .04788 .10039 .14920	-.19880 .07147 .07488 .07662 .07744	.02465 .02465 .02465 .02465 .02465	.07689 .04248 .04298 .04324 .04337	.01700 .01700 .01700 .01700 .01700

열화시험의 경우는 Weibull 분포의 경우와 거의 유사하게 [eqn: hat sigma ``]의 편기와 MSE는 거의 변화가 없으며 [eqn: hat mu ``]의 편기와 MSE가 관측중단비율에 따라 수명시험보다 적게 증가함을 알 수 있다. 즉, 대수정규분포의 경우에도 열화량의 측정이 가능하고 본 논문에서 제시한 단순열화율 모형을 따르면 관측중단비율이 클 경우에 열화시험에 의한 신뢰도 평가가 우수함을 파악하였다.

또한, 열화시험의 경우에 관측중단비율이 클수록 측정되는 열화량의 변동이 [eqn: gamma ``]값의 변화에 따른 영향을 검토하기 위해서 수치실험한 결과를 <표 6>과 <표 7>에 정리하였다. 즉 기준 관측중단비율을 50%로 설정

<표 6> 열화시험하에서 □값에 따른 비교(Weibull 분포:[eqn: n=50],[eqn: alpha `=`1.0 ``],[eqn: D=10])

[eqn: beta ``]	관측 중단 비율	[eqn: gamma=-0.05]		[eqn: gamma=-0.01]		[eqn: gamma=-0.005]
		bias([eqn: alpha ``])	MSE([eqn: t_0.1 ``])	bias([eqn: alpha ``])	MSE([eqn: t_0.1 ``])	bias([eqn: alpha ``])	MSE([eqn: t_0.1 ``])
0.8	25% 50% 75% 90%	.01974 .06518 .08788 .09611	.000705 .000803 .000859 .000881	.05593 .06518 .06968 .07129	.000781 .000803 .000814 .000818	.06055 .06518 .06743 .06823	.000792 .000803 .000808 .000810
1.0	25% 50% 75% 90%	.01339 .04913 .07061 .08042	.001283 .001430 .001534 .001586	.04188 .04913 .05339 .05531	.001397 .001430 .001450 .001459	.04550 .04913 .05126 .05221	.001413 .001430 .001440 .001444
2.0	25% 50% 75% 90%	.00419 .02165 .03690 .04793	.002753 .002928 .003136 .003318	.01814 .02165 .02468 .02686	.002888 .002928 .002966 .002994	.01989 .02165 .02317 .02425	.002908 .002928 .002947 .002960
3.5	25% 50% 75% 90%	.00175 .01168 .02185 .03082	.002319 .002414 .002570 .002754	.00968 .01168 .01370 .01548	.002391 .002414 .002441 .002466	.01068 .01168 .01269 .01358	.002402 .002414 .002427 .002439

<표 7> 열화시험하에서 □값에 따른 비교(대수정규분포:[eqn: n=50],[eqn: mu`=`1 ``],[eqn: D=10])

[eqn: sigma `]	관측 중단 비율	[eqn: gamma=0.005]		[eqn: gamma=0.001]		[eqn: gamma=0.0005]
		bias([eqn: mu `])	MSE([eqn: t_0.1 ``])	bias([eqn: mu `])	MSE([eqn: t_0.1 ``])	bias([eqn: mu `])	MSE([eqn: t_0.1 ``])
1/3	25% 50% 75% 90%	.00815 .01262 .01618 .01876	.012676 .012938 .013237 .013505	.01173 .01262 .01333 .01385	.012876 .012938 .012992 .013033	.01217 .01262 .01298 .01324	.012907 .012938 .012965 .012984
1/2	25% 50% 75% 90%	.01181 .01893 .02399 .02728	.018842 .019337 .019816 .020186	.01751 .01893 .01994 .02061	.019221 .019337 .019424 .019483	.01822 .01893 .01944 .01977	.019278 .019337 .019380 .019409
1.0	25% 50% 75% 90%	.02070 .03786 .04652 .05059	.022111 .023118 .023759 .024091	.03445 .03786 .03960 .04042	.022890 .023118 .023239 .023298	.03616 .03786 .03873 .03914	.023003 .023118 .023178 .023207

하여 관측중단비율 25, 50, 75, 90%의 경우에 대한 결과이다.

먼저 <표 6>은 시험표본의 수가 50개인 R-Weibull 분포를 따르는 열화시험의 경우로서 [eqn: gamma `]값이-0.05, -0.01, -0.005에 따른 [eqn: alpha ``]의 편기와 제10백분위수인 [eqn: hat t`_0.1 `]의 MSE 값을 구하여 정리하였는데, [eqn: beta ``]의 편기는 <표 4>에서와 같이 관측중단비율에 따른 변화가 거의 없으며 [eqn: gamma ``]값의 변화에도 매우 적은 차이만 도출되었으므로 표에는 포함시키지 않았다. <표 7>은 열화율이 대수정규분포를 따를 경우로써 [eqn: gamma `]값이 0.005, 0.001, 0.0005 에 대한 수치실험 결과이다.

두 가지 열화율 분포에서 일부 경우에 절대값 □[eqn: gamma`]□의 값이 클수록 [eqn: alpha ``] 또는 [eqn: mu ``]의 편기가 크게 증가하지만, 거의 모든 경우에 [eqn: alpha ``] 또는 [eqn: mu ``]의 [eqn: hat t`_0.1 `]의 MSE에는 영향을 주지 않음을 파악할 수 있다. 따라서 [eqn: gamma ``]값은 수명과 열화시험의 비교분석시 큰 영향을 주지 않음을 알 수 있다.

5. 결  론

열화현상이 단순 확률계수 모형하에서 제품의 열화율이 R-Weibull 분포를 따르면, 제품의 수명분포는 Weibull 분포를 따른다는 점과 열화율의 분포가 대수정규분포를 따를 경우 수명분포가 대수정규분포를 따르는 점을 반영하여, 먼저 모형과 추정법을 소개하고 실제 자료를 이용한 적용 예제를 통하여 본 논문에서 제시한 두 가지 열화율 분포에 대한 유용성을 파악하였다.

또한 동일한 상황에서 수명시험과 열화시험에 관한 수치실험을 실시하여 모수를 추정하고, 모수의 최우추정량의 편기 및 MSE를 구하여 두 시험방법의 통계적 성질을 비교하였다.

수치실험 결과를 요약하면 본 논문에서 제시한 열화율 분포를 따를 경우 관측중단비율이 높을수록 열화시험의 상대적 우월성이 증가함을 파악하였으며 이는 열화시험의 경우가 모든 시험제품의 열화량을 관측중단시점에서 측정함으로 인하여 직접 수명분포를 추정하지는 않지만 시험표본에 관한 정보를 많이 활용함으로 수명시험보다는 더 정확하게 수명을 추정한다고 판단할 수 있다. 그리고 본 연구에서는 모든 시험제품을 관측중단시점에서 1회 관측 결과를 이용한 경우이므로 다수의 관측을 실시할 경우에는 열화시험이 훨씬 우수할 것으로 예상된다.

또한 열화시험의 경우에 관측중단비율이 클수록 측정되는 열화량의 변동이 증가하는 요소인 [eqn: gamma ``]값의 변화에 따른 열화시험의 영향도 조사하였다.

본 연구에서는 열화량이 정확하게 측정가능한 상황으로서 측정오차를 고려하지는 않았으나, 앞으로 열화량의 측정시 발생하는 측정오차를 고려한 연구와 가속수명시험과 가속열화시험의 상황에서의 비교 연구가 요망된다. 또한 정확한 고장시간 자료와 고장이 발생되지 않은 제품의 열화량을 측정하여 의사 고장시간을 예측하여 분석하는 근사적인 열화분석방법과의 심층적인 비교 분석도 요망된다.

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